А.К.Гуц МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА для социологов Омск: Изд-во ОмГУ, 2017. 196 стр.

---

Учебное пособие посвящено изложению элементов математической логики для социологов. Представлены логика высказываний, логика предикатов, модальная, паранепротиворечивая, релевантная и нечеткая логики. Обсуждается проблема формализации социологических теорий. Изложен ДСМ-метод порождения социологических гипотез.

Для студентов, магистрантов и аспирантов социологических факультетов..

---

Оглавление

Введение.................. 9

1 Формальная логика Аристотеля ……………… 16

1.1. Силлогизмы Аристотеля . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Что есть истина? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Модальная логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Математическая, или символическая, логика . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Курсы математической логики для социологов в университетах России и других стран . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1. Символическая логика в University of Exeter (Devon, UK) . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2. Логико-комбинаторные методы анализа социологических данных в Высшей школе экономики . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Аристотель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Законы классической логики …………..29

2.1. Основные законы логики . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Логический парадокс Рассела . . . . . . . . . . . 32
2.3. Двузначность и многозначность логики . . . . . 35
2.4. Интуиционистская логика . . . . . . . . . . . . . 36

3 Логика высказываний …………… 37

3.1. Силлогизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Высказывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1. Классическая (материальная) импликация . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2. Логическая импликация и причинная импликация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Алгебра высказываний . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Булева функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5. Равносильные формулы . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6. Алгебра Буля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7. Истинные и общезначимые формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8. Логическое следствие . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9. Джордж Буль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Логика предикатов …………… 49

4.1. Символический язык. Исчисление (формальная теория) . . . . . . . . . 50
4.1.1. Термы: Cоциальные объекты . . . . . . 51
4.1.2. Предикаты: Cвойства социальных объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3. Формулы: Высказывания о социальных объектах . . . . . . . . . . . 52
4.1.4. Любое высказывание русского языка
можно записать как формулу в логике предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.5. Аксиомы: Очевидные истины . . . . . 55
4.1.6. Правила вывода: Умозаключения . . . 56
4.1.7. Доказательства: Обоснования . . . . . 56
4.2. Определение исчисления, или формальной теории . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1. Определение формального доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2. Полнота и непротиворечивость . . . . . . 59
4.3. Логика высказываний как исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4. Исчисление предикатов . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1. Язык и правила вывода исчисления предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.2. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов . . . . . . . . . . . 65
4.5. Теорема Геделя о неполноте . . . . . . . . . . . . 66
4.6. Какая прикладная логика требуется для решения задач социологии? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7. Интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.1. Истинность и выполнимость формул . . . 73
4.7.2. Модели и общезначимость . . . . . . . . . 73
4.8. Истинность аксиом . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.9. Готлоб Фреге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Модальные логики………….. 76

5.1. Модальные исчисления . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.1. Модальное исчисление K . . . . . . . . . . 78
5.1.2. Модальные исчисления K4 и S4 . . . . . . 79
5.2. Семантика Крипке . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Логика доказуемости . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Аксиоматизация социологических теорий .. …………83

6.1. Формализуемы ли социологические теории? . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2. Примеры логических аксиоматизаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1. Формальная теория организации . . . . . 86
6.2.2. Логическая формализация социальных обязательств . . . . . . . . . . 89
6.2.3. Логические формализации Ханнана . . . 92
6.3. Содержательная аксиоматизация . . . . . . . . . 92
6.4. Аксиоматизация и социология . . . . . . . . . . . 93
6.4.1. В чем смысл формализации теорий? . . . 94
6.4.2. Аксиоматизация глазами социолога . . . 95
6.4.3. Пути аксиоматизации (формализации) социологических теорий . . . . . . . . . . 98
6.5. Содержательные аксиоматики конкретных социологий (социологических теорий) . . . . . . . . . . . . . 100
6.6. Примеры аксиоматик конкретных социологий . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6.1. Аксиоматика теории социального обмена Хоманса-Блау . . . . . . . . . . . 102
6.6.2. Аксиомы демократического голосования Эрроу . . . . . . . . . . . . . 104
6.6.3. Аксиомы Шелера социологии знания . . . . . . . . . . . . . 105
6.6.4. Три аксиомы для прагматической социологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 Паранепротиворечивые логики…………… 107

7.1. Сущность паранепротиворечивых логик . . . . . 108
7.2. Паранепротиворечивая логика LP Приста . . 108
7.3. Воображаемая логика Васильева . . . . . . . . . 110
7.4. Н.А. Васильев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Релевантные логики 113

8.1. Сущность релевантных логик . . . . . . . . . . . 115
8.1.1. Строгая импликация . . . . . . . . . . . . 115
8.1.2. Релевантная импликация . . . . . . . . . . 116
8.2. Релевантная логика R . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3. Релевантная логика RM3 . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4. И.Е. Орлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Нечеткая логика 122

9.1. Нечеткие подмножества . . . . . . . . . . . . . . 122
9.1.1. Операции над нечеткими подмножествами . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2. Нечеткая логика высказываний . . . . . . . . . . 125
9.3. Роль универсального множества E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4. Лингвистические переменные . . . . . . . . . . . 129
9.5. Нечеткая истинность . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.6. Нечеткие числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.6.1. Операции над нечеткими числами . . . . 133
9.6.2. Треугольные нечеткие числа . . . . . . . 134
9.7. Лотфи А. Заде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10 Дедуктивная и индуктивная логики ............... 136

10.1. Дедуктивные и правдоподобные умозаключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.1.1. Достоверные, или дедуктивные, умозаключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.1.2. Правдоподобные умозаключения . . . . . 139
10.2. Индуктивная логика . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2.1. Сходство и индукция . . . . . . . . . . . . 140
10.2.2. Аналогия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2.3. Индуктивные правила Милля . . . . . . . 140
10.3. Дедуктивная логика . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.4. Абдуктивные умозаключения . . . . . . . . . . . 142
10.5. Эксперимент в социологии и причинные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.5.1. Компьютерные системы по анализу социологических данных
и прогнозирования социального поведения . . . . . . . . 144
10.6. Джон С. Милль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

11 Логико-комбинаторные методы ............. 147

11.1. ДСМ-метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.1.1. Описание ДСМ-метода . . . . . . . . . . . 150
11.1.2. Логика ДСМ-метода . . . . . . . . . . . . 153
11.2. Алгоритм ДСМ-метода . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2.1. Формирование базы фактов . . . . . . . . 158
11.2.2. Формирование гипотез . . . . . . . . . . . 159
11.2.3. Проверка условия каузальной полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3. Другой алгоритм ДСМ-метода . . . . . . . . . . 164
11.4. Формализация ДСМ-метода . . . . . . . . . . . . 166
11.4.1. ДСМ-язык . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4.2. ДСМ-умозаключения. Правила вывода . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.4.3. Пример: анализ мнений . . . . . . . . . . 171
11.5. Компьютерные ДСМ-системы . . . . . . . . . . . 175
11.5.1. ДСМ-система JSM-Socio Анны Волковой . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.5.2. Другие компьютерные ДСМ-системы . . 176
11.6. Сравнительный качественный анализ (СКА) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.7. В.К. Финн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Заключение.................. 179

Литература ................. 181